Subsecciones

Fórmulas

Una de las mayores potencialidades de LATEX reside en su expresividad a la hora de escribir fórmulas y expresiones matemáticas. Su filosofía es eminentemente descriptiva, lo que lo hace bastante sencillo y fácil de recordar, como veremos en las siguientes páginas.

Paquetes necesarios

La mayoría de los símbolos matemáticos se incluyen gracias al paquete amsmath. Además, con los paquetes latexsymb y amssymb se completa la lista de todos los símbolos, operadores y delimitadores posibles.

El modo matemático

Hay varias formas de ``iniciar'' el modo matemático en LATEX. Podemos hacerlo de modo inline, es decir, en medio de un párrafo, o bien hacer que se produzca un salto de línea y la fórmula aparezca centrada y aparte:

entonces si sumamos $ a + b $ obtendremos...
entonces si sumamos $$ a + b $$ obtendremos...
entonces si sumamos $ a + b $ obtendremos...
entonces si sumamos

$\displaystyle a + b $

obtendremos...

Como equivalente a la primera forma, podemos usar el entorno math, y el entorno displaymath para la segunda.

Además, si queremos que la fórmula sea numerada por LATEX, podemos utilizar el entorno equation:

si entonces sumamos
\begin{equation}
   a + b
\end{equation}
obtendremos...
si entonces sumamos

$\displaystyle a + b $ (9.1)

obtendremos...

En este caso, utilizando el comando \eqref{etiqueta} en lugar del normal \ref{etiqueta} para referirnos a una equación a la que hayamos etiquetado con un \label{etiqueta}, LATEX sustituirá la referencia por el número que identifica a la fórmula, entre paréntesis.

Exponentes y subíndices

Algo tan habitual como exponentes (superíndices) y subíndices son extremadamente sencillos de escribir en LATEX:

a_1 = b^2
a_2 = b^3
...
a_{n+1} = b^{(n+2)}

$\displaystyle a_1 = b^2 $

$\displaystyle a_2 = b^3 $

$\displaystyle \ldots{} $

$\displaystyle a_{n+1} = b^{(n+2)} $

Fracciones y binomios

También el tratamiento de fracciones y binomios es simple e intuitivo en LATEX:

\frac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \tfrac{6}{9}

$\displaystyle \frac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \tfrac{6}{9} $

Como vemos, \tfrac se utiliza para obtener las fracciones en un tamaño más reducido ( $ \tfrac{6}{9}$); la utilidad de \dfrac consiste en mostrar las fracciones ( $ \dfrac{4}{6}$) a tamaño más grande cuando se utilizan entre el texto, ya que \frac respeta las proporciones ( $ \frac{2}{3}$).

El tratamiento de los binomios es totalmente análogo:

\binom{2}{3} \neq \dbinom{4}{6} \neq \tbinom{6}{9}

$\displaystyle \binom{2}{3} \neq \dbinom{4}{6} \neq \tbinom{6}{9} $

Raíces, integrales, sumatorios, límites

Con sencillos comandos, LATEX permite representar raíces de cualquier tipo, así como integrales, sumatorios, productorios...

  \sqrt[3]{a + b^2}
+ \int x dx
+ \oint \dfrac{1}{x} dx
+ \iiint \dfrac{a}{\sqrt{x+b}} dx

$\displaystyle \sqrt[3]{a + b^2} + \int x dx + \oint \dfrac{1}{x} dx + \iiint \dfrac{a}{\sqrt{x+b}} dx $

  \sum_{i = 0}^n a_i \cdot b_i
+ \sum_{\substack{j = 0 \\ j < i}}^n a_i
+ \prod_{k = 0}^{\substack{k \geq i \\ k \leq j}} b_j
+ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{1-x}

$\displaystyle \sum_{i = 0}^n a_i \cdot b_i + \sum_{\substack{j=0\\ j<i}}^n a_i ...
...{k=0}^{\substack{k\geq i\\ k\leq j}} b_j + \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{1-x}$

Delimitadores

Antes vimos cómo los paréntesis alrededor de una fracción que va en medio del texto pueden no ser del tamaño adecuado: $ (\dfrac{2}{3})$. Pero también puede ocurrirnos si queremos delimitar expresiones en fórmulas aparte:

$\displaystyle [ \int \dfrac{1}{x} dx + \sum_{i=0}^x 2^i ] \cdot \sqrt[3]{a + b^2}
$

Para hacer que LATEX adapte el tamaño de los delimitadores de forma que sea óptimo debemos utilizar las siguientes formas:

\left(
\left[
\left{
\left|

y sus correspondientes right. Así, conseguiremos $ \left( \dfrac{2}{3} \right)$ o:

$\displaystyle \left[ \int \dfrac{1}{x} dx + \sum_{i=0}^x 2^i \right] \cdot \sqrt[3]{a + b^2}
$

Matrices y determinantes

Para crear matrices y determinantes, LATEX pone a nuestra disposición el entorno array, cuyas opciones y argumentos son idénticos a los del entorno tabular. Combinando este entorno con los delimitadores tal y como los hemos estudiado en la sección anterior, podemos recrear cualquier tipo de matriz o determinante:

\left(
       \begin{array}{crl}
           x          & 3        & m+n^2 \\
           x+y        & 5        & m -n  \\
           x^z        & \sqrt{7} & m     \\
           (x+y)^{z'} & 10       & 1+m
       \end{array}
\right)

$\displaystyle \left( \begin{array}{crl}
x & 3 & m+n^2 \\
x+y & 5 & m -n \\
x^z & \sqrt{7} & m \\
(x+y)^{z'} & 10 & 1+m
\end{array} \right)
$

Puntos suspensivos

En frecuentes ocasiones, se necesita especificar una matriz o determinante para los que muchas de las posiciones son conocidas y por tanto, se puede abreviar su representación utilizando puntos suspensivos (\dots{} ó \ldots{}), puntos suspensivos verticales (\vdots{}), puntos suspensivos en diagonal (\ddots{}) o puntos suspensivos centrados (\cdots{}):

\left|
   \begin{array}{cccc}
      a_{11}   & a_{12} & \cdots{}  & a_{1n}   \\
      a_{21}   & a_{22} & \cdots{}  & a_{2n}   \\
      \vdots{} &        & \ddots{}  & \vdots{} \\
      a_{n1}   & a_{n2} & \cdots{}  & a_{nn}
   \end{array}
\right|

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots{} & a_{1n...
...s{} & \vdots{} \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots{} & a_{nn}
\end{array} \right\vert
$

Sistemas de ecuaciones

Ante un bloque de ecuaciones, tenemos dos cuestiones que resolver:

  1. Cómo representar un sistema de ecuaciones
  2. Cómo representar la resolución de una ecuación en más de un paso

La primera de ambas es sencilla, utilizando de manera combinada lo que hemos visto hasta ahora, junto con un pequeño nuevo truco, los comandos \left. y \right.:

| x | = \left\{ \begin{array}{rclcc}
                    x & & si & & x \ge 0 \\
                   -x & & si & & x <   0
                 \end{array}
        \right.

$\displaystyle \vert x \vert = \left\{ \begin{array}{rclcc}
x & & si & & x \ge 0 \\
-x & & si & & x < 0
\end{array}\right.
$

Aunque para este estilo de definiciones con casos también tenemos el útil entorno cases:

P_\alpha = \begin{cases}
               \alpha & \text{si $\alpha$ es impar} \\
              -\alpha & \text{si $\alpha$ es par} \\
                    1 & \text{si $\alpha$ es 0} \\
            \end{cases}

$\displaystyle P_\alpha = \begin{cases}
\alpha & \text{si $\alpha$ es impar} \\ ...
...pha & \text{si $\alpha$ es par} \\
1 & \text{si $\alpha$ es 0} \\
\end{cases}$

En cuanto a la segunda, aunque podríamos hacerlo utilizando lo que ya sabemos, disponemos del entorno eqnarray, que nos facilita las cosas:


$\displaystyle (a+b)^2 - (a-b)^2$ $\displaystyle =$   (9.2)
$\displaystyle (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4ab$ (9.3)

Además, como vemos, igual que en el entorno equation, cada paso es numerado automáticamente.

Teoremas, lemas, corolarios
y demostraciones

Cuando tratamos con teoremas, lemas o corolarios, deseamos que aparezcan destacados, sin tener por ello que repetir el mismo trabajo cada vez. Incluyendo el paquete amsthm, LATEX permite utilizar el comando:

\newtheorem{nombreEntorno}{nombreTipo}

donde nombreEntorno es el nombre con el que nos referiremos a un nuevo entorno creado por nosotros para estos menesteres y nombreTipo puede ser Lema, Teorema, Corolario o Conjetura:

\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{corolario}{Corolario}
\begin{teorema}[Bolzano]
  Si $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y
  toma valores de signo opuesto en los extremos,
  entonces existe un punto $c$ perteneciente al intervalo
  abierto $(a,b)$ tal que $f(c)=0$.
  $$
  \exists \quad c \in (a, b)  \quad /  \quad f(c) = 0
  $$
\end{teorema}
\begin{corolario}
  El valor $c$ es una raíz de la ecuación $f(x) = 0$.
\end{corolario}

Teorema 1 (Bolzano)   Si $ f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $ [a,b]$ y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe un punto $ c$ perteneciente al intervalo abierto $ (a,b)$ tal que $ f(c)=0$.

$\displaystyle \exists \quad c \in (a, b) \quad / \quad f(c) = 0
$

Corolario 1   El valor $ c$ es una raíz de la ecuación $ f(x) = 0$.

Además, el mencionado paquete nos proporciona también el entorno proof:

Demostración. Se demuestra por definición de continuidad en un intervalo cerrado, y aplicando el teorema de Weierstrass. $ \qedsymbol$

Otros elementos útiles

Funciones y símbolos

Durante los ejemplos que hemos visto a lo largo de este capítulo, hemos comprobado el uso de algunas funciones y símbolos matemáticos típicos. Por supuesto, LATEX posee muchos más, de manera que lo más recomendable es consultar un libro o manual cada vez que se requiera alguno.

\sin     \cos     \tan      \log     \partial
\alpha   \beta    \epsilon  \theta   \lambda   \pi
\sigma   \phi     \omega    \beta    \mu       \gamma
\rho     \tau     \delta    \eta
\Theta   \Lambda  \Omega   \Gamma    \Delta   \Phi
\approx  \equiv   \simeq    \cong    \propto
\Rightarrow  \Leftrightarrow  \forall \nexists  \emptyset
\lceil x \rceil   \lfloor x \rfloor   \subset   \subseteq

$\displaystyle \sin \quad \cos \quad \tan \quad \log \quad \partial$

$\displaystyle \alpha \quad \beta \quad \epsilon \quad \theta \quad \lambda \quad \pi $

$\displaystyle \sigma \quad \phi \quad \omega \quad \beta \quad \mu \quad \gamma $

$\displaystyle \rho \quad \tau \quad \delta \quad \eta $

$\displaystyle \Theta \quad \Lambda \quad \Omega \quad \Gamma \quad \Delta \quad \Phi $

$\displaystyle \approx \quad \equiv \quad \simeq \quad \cong \quad \propto $

$\displaystyle \Rightarrow \quad \Leftrightarrow \quad \forall \quad \nexists \quad \emptyset $

$\displaystyle \lceil x \rceil \quad \lfloor x \rfloor \quad \subset \quad \subseteq $

Texto y fuentes

Como también hemos visto ya en algún ejemplo, la forma de incluir texto normal en el entorno matemático es usar el comando \text{texto}.

Además, existen varios tipos de fuentes que pueden usarse:

mathrm

que produce este `` $ \mathrm{Resultado} = a + b$''.
mathnormal

que produce este `` $ \mathnormal{Resultado} = a + b$''.
mathsf

que produce este `` $ \mathsf{Resultado} = a + b$''.
mathit

que produce este `` $ \mathit{Resultado} = a + b$''.
mathbf

que produce este `` $ \mathbf{Resultado} = a + b$''.
mathcal

que produce este `` $ \mathcal{R} = a + b$''.
mathtt

que produce este `` $ \mathtt{Resultado} = a + b$''.

Espacios

Para que una fórmula o ecuación quede exactamente como queremos, puede ser necesario incluir o eliminar espacios entre operadores, operandos, delimitadores y símbolos. Para ellos contamos con:

Comandos para incluir espacios en orden creciente de anchura introducida:
\thinspace
\medspace
\thickspace
\quad
\qquad
\hspace{long}
Comandos para reducir espacio en orden creciente de anchura eliminada:
\negthinspace
\negmedspace
\negthickspace

Cajas

Ya para terminar, mencionaremos el comando \boxed{fórmula}, que nos permite presentar una fórmula encuadrada:

$\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{1-x} }
$

El mundo matemático de LATEX es enormemente grande. Por ello, la selección incluída aquí es una pequeña muestra de todo lo que puede hacerse. Existen muchos otros comandos y variaciones de los aquí presentados, que tan sólo buscan ser un acicate para que el lector novel interesado investigue por su cuenta, con un poco de base. Si algún lector familiarizado con LATEX no ha encontrado aquí su comando favorito, le pedimos disculpas por ello O:-).

Juan José Iglesias González 2004-03-16